Nature d'un quadrilatère (1) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A(\dfrac{3}{2}i) , \text B(2+\dfrac{1}{2}i) , \text C(1- \dfrac{3}{2}i)\) et \(\text D(-1-\dfrac{1}{2}i)\) .  Quelle est la nature du quadrilatère `\text A\text B\text C\text D` ?

Solution

\(z_{\vec{\text A\text B}} = z_\text B - z_\text A = 2+ \dfrac{1}{2}i - \dfrac{3}{2}i = 2-i\)

\(z_{\vec{\text D\text C}} z_\text C - z_\text D = 1- \dfrac{3}{2}i - \left(-1 - \dfrac{1}{2} \right) = 2 -i\)

Donc \(z_{\vec{\text A\text B}} = z_{\vec{\text D\text C}}\) donc  \(\vec{\text A\text B} = \vec{\text D\text C}\) donc \(\text A\text B\text C\text D\) est un parallélogramme.

De plus,  \(\dfrac{z_\text B - z_\text A}{z_\text D - z_\text A} = \dfrac{2-i}{ -1 - \frac{1}{2}i - \frac{3}{2}i} = \dfrac{2-i}{-1-2i} = \dfrac{i(-1-2i))}{-1-2i} = i\)

Donc \(\text A\text B\text D\) est rectangle et isocèle en \(\text A\) .

Finalement, \(\text A\text B\text C\text D\) est un carré.